自动机CFG到PDA的转换

R.H.S.上的第一个符号生产必须是终端符号。以下步骤用于从CFG获取PDA：

步骤1：将给定的CFG生产转换为GNF。

步骤2：PDA仅具有一种状态{q}。

步骤3：CFG的初始符号将成为PDA中的初始符号。

步骤4：对于非终端符号，添加以下规则：

δ(q, ε, A) = (q, α)

生产规则为A→α

步骤5：对于每个终端符号，添加以下规则：

δ(q, a, a) = (q, ε) for every terminal symbol

范例1：

将以下语法转换为接受相同语言的PDA。

S → 0S1 | A
A → 1A0 | S | ε

解：

首先可以通过消除单元生产来简化CFG：

S → 0S1 | 1S0 |  ε

现在，我们将此CFG转换为GNF：

S → 0SX | 1SY |  ε
X → 1
Y → 0

PDA可以是：

R1: δ(q, ε, S) = {(q, 0SX) | (q, 1SY) | (q, ε)}
R2: δ(q, ε, X) = {(q, 1)}
R3: δ(q, ε, Y) = {(q, 0)}
R4: δ(q, 0, 0) = {(q, ε)}
R5: δ(q, 1, 1) = {(q, ε)}

范例2：

为给定的CFG构造PDA，并测试该PDA是否接受0104。

S → 0BB
B → 0S | 1S | 0

解：

PDA可以表示为：

A = {(q), (0, 1), (S, B, 0, 1), δ, q, S, ?}

生产规则δ可以是：

R1: δ(q, ε, S) = {(q, 0BB)}
R2: δ(q, ε, B) = {(q, 0S) | (q, 1S) | (q, 0)}
R3: δ(q, 0, 0) = {(q, ε)}
R4: δ(q, 1, 1) = {(q, ε)}

针对PDA测试0104，即010000：

δ(q, 010000, S) ⊢ δ(q, 010000, 0BB)
                ⊢ δ(q, 10000, BB)              R1
                ⊢ δ(q, 10000, 1SB)              R3  
                ⊢ δ(q, 0000, SB)               R2      
                ⊢ δ(q, 0000, 0BBB)             R1   
                ⊢ δ(q, 000, BBB)               R3      
                ⊢ δ(q, 000, 0BB)               R2    
                ⊢ δ(q, 00, BB)                 R3   
                ⊢ δ(q, 00, 0B)                 R2  
                ⊢ δ(q, 0, B)                   R3  
                ⊢ δ(q, 0, 0)                   R2
                ⊢ δ(q, ε)                      R3  
                  ACCEPT

因此，PDA接受0104。

范例3：

为以下给出的CFG绘制PDA：

S → aSb
S → a | b | ε

解：

PDA可以表示为：

P = {(q), (a, b), (S, a, b, z0), δ, q, z0, q}

映射函数δ将为：

R1: δ(q, ε, S) = {(q, aSb)}
R2: δ(q, ε, S) = {(q, a) | (q, b) | (q, ε)}
R3: δ(q, a, a) = {(q, ε)}
R4: δ(q, b, b) = {(q, ε)}
R5: δ(q, ε, z0) = {(q, ε)}

模拟：考虑字符串aaabb

δ(q, εaaabb, S) ⊢ δ(q, aaabb, aSb)             R3
                ⊢ δ(q, εaabb, Sb)              R1                               
                ⊢ δ(q, aabb, aSbb)             R3
                ⊢ δ(q, εabb, Sbb)              R2
                ⊢ δ(q, abb, abb)               R3
                ⊢ δ(q, bb, bb)                 R4
                ⊢ δ(q, b, b)                   R4
                ⊢ δ(q, ε, z0)                  R5
                ⊢ δ(q, ε)
                ACCEPT