自动机Greibach范式（GNF）

本文概述

• 将CFG转换为GNF的步骤

GNF代表Greibach范式。如果所有生产规则都满足以下条件之一，则CFG（上下文无关语法）为GNF（Greibach范式）：

• 起始符号生成ε。例如，S→ε。
• 生成终端的非终端。例如，A→a。
• 一个非终端生成一个终端，后面跟着任意数量的非终端。例如，S→aASB。

例如：

G1 = {S → aAB | aB, A → aA| a, B → bB | b}
G2 = {S → aAB | aB, A → aA | ε, B → bB | ε}

语法G1的生成规则满足为GNF指定的规则，因此语法G1在GNF中。但是，语法G2的生成规则不满足为GNF指定的规则，因为A→ε并且B→ε包含ε（仅起始符号可以生成ε）。因此语法G2不在GNF中。

将CFG转换为GNF的步骤

步骤1：将语法转换为CNF。

如果给定的语法不在CNF中，请将其转换为CNF。你可以参考以下主题将CFG转换为CNF：Chomsky正常形式

步骤2：如果语法存在左递归，则将其消除。

如果上下文无关文法包含左递归，则将其消除。你可以参考以下主题来消除左递归：Left Recursion

步骤3：在语法中，将给定的生产规则转换为GNF形式。

如果语法中的任何生成规则不是GNF形式，请将其转换。

例：

S → XB | AA
A → a | SA
B → b
X → a

解：

由于给定的语法G已经在CNF中并且没有左递归，因此我们可以跳过步骤1和步骤2，直接转到步骤3。

生产规则A→SA不在GNF中，因此我们用S→XB |生产规则A→SA中的AA为：

S → XB | AA
A → a | XBA | AAA
B → b
X → a

生产规则S→XB和B→XBA不在GNF中，因此我们将生产规则S→XB和B→XBA中的X→a替换为：

S → aB | AA
A → a | aBA | AAA
B → b
X → a

现在我们将删除左递归（A→AAA），得到：

S → aB | AA
A → aC | aBAC
C → AAC |  ε
B → b
X → a

现在我们将删除零产生C→ε，我们得到：

S → aB | AA
A → aC | aBAC | a | aBA
C → AAC |  AA
B → b
X → a

生产规则S→AA不在GNF中，因此我们用A→aC |代替。 aBAC |一个|生产规则S→AA中的aBA为：

S → aB | aCA | aBACA | aA | aBAA
A → aC | aBAC | a | aBA
C → AAC
C → aCA | aBACA | aA | aBAA
B → b
X → a

生产规则C→AAC不在GNF中，因此我们用A→aC |代替。 aBAC |一个|生产规则C→AAC中的aBA为：

S → aB | aCA | aBACA | aA | aBAA
A → aC | aBAC | a | aBA
C →  aCAC | aBACAC | aAC | aBAAC
C → aCA | aBACA | aA | aBAA
B → b
X → a

因此，这是语法G的GNF形式。