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矩阵的不同运算快速介绍

有关矩阵的介绍, 你可以参考以下文章:矩阵介绍

在本文中, 我们将讨论关于矩阵及其属性的各种运算:

矩阵加法–

两个矩阵A m*n和Bm*n相加得到一个矩阵Cm*n。C的元素是A和B中相应元素的和,可以表示为:

矩阵的不同运算快速介绍

矩阵相加的算法可以写成:

for i in 1 to m
   for j in 1 to n
      cij = aij + bij

关键点:

  • 矩阵加法是可交换的, 这意味着A + B = B + A
  • 矩阵的加法是关联的, 这意味着A +(B + C)=(A + B)+ C
  • 矩阵A, B和A + B的顺序始终相同
  • 如果A和B的顺序不同, 则无法计算A + B
  • 加法运算的复杂度为O(m * n), 其中m * n是矩阵的阶数

矩阵减法–

两个矩阵Am*n和Bm*n相减得到一个矩阵Cm*n。C的元素是A和B中对应元素的差值,可以表示为:

矩阵的不同运算快速介绍

矩阵相减的算法可写为:

for i in 1 to m
   for j in 1 to n
      cij = aij-bij

关键点:

  • 矩阵相减是不可交换的, 这意味着A-B≠B-A
  • 矩阵相减是非缔合的, 这意味着A-(B-C)≠(A-B)-C
  • 矩阵A, B和A-B的顺序始终相同
  • 如果A和B的顺序不同, 则无法计算A-B
  • 减法运算的复杂度为O(m * n), 其中m * n是矩阵的阶数

矩阵乘法–

两个矩阵Am*n和Bn*p相乘得到一个矩阵Cm*p。这意味着A的列数必须等于B的行数才能计算出C=A*B。计算元素c11时,将A的第一行元素与B的第一行元素相乘,然后相加(5*1+6*4),结果如下:

矩阵的不同运算快速介绍

矩阵A与阶m * n相乘而矩阵B与阶n * p相乘的算法可以写成:

for i in 1 to m
   for j in 1 to p
      cij = 0
      for k in 1 to n
         cij += aik*bkj

关键点:

  • 矩阵的乘法是不可交换的, 这意味着A * B≠B * A
  • 矩阵相乘是关联的, 这意味着A *(B * C)=(A * B)* C
  • 为了计算A * B, A中的列数必须等于B中的行数
  • A * B的存在并不意味着B * A的存在
  • 乘法运算的复杂度(A * B)为O(m * n * p), 其中m * n和n * p分别为A和B的阶数
  • 计算为A * B的矩阵C的阶为m * p, 其中m * n和n * p分别为A和B的阶

接下来阅读–矩阵的行列式, 矩阵的伴随和逆

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