集合的类型

本文概述

• 集的分区
• 朋友图

集可以分为许多类别。其中一些是有限, 无限, 子集, 通用, 固有, 幂, 单例集等。

1.有限集：如果一个集合正好包含n个不同的元素, 其中n是一个非负整数, 则称该集合为有限个。在此, n被称为“集合的基数”。集的基数由| A |, ＃A, 卡（A）或n（A）表示。

例：

1. 空集θ的基数为0, 用|θ|表示= 0
2. 偶数正整数的集不是有限集。

如果集合中的元素与某个集合n中的元素之间存在一对一的对应关系, 则集合称为有限集合, 其中n是自然数, n是集合的基数。有限集也称为可数集。 n被称为集合的基数或集合的基数。

2.无限集：一个不是有限的集称为无限集。

可数无限：如果集合中的元素与N中的元素之间存在一一对应关系。可数无限集合也称为Denumerable。有限或可数的集合称为可数集。不可数的集合称为不可数。非负偶数整数的集合是可数的Infinite。

不可数的无限：不可数的集合称为不可数的无限集或不可数的集合, 或简称为不可数。

示例：设置所有+ ve小于1的实数的R, 可以用十进制形式0表示。a1, a2, a3 …..其中a1是一个整数, 使得0≤ai≤9。

3.子集：如果集合A中的每个元素也是集合B的元素, 则A称为B的子集。它可以表示为A⊆B。这里B称为A的超集。

示例：如果A = {1, 2}并且B = {4, 2, 1}, 则A是B或A⊆B的子集。

子集的属性：

1. 每个集合都是其自身的子集。
2. 空集即∅是每个集合的子集。
3. 如果A是B的子集, 而B是C的子集, 则A将是C的子集。如果A⊂B和B⊂C⟹A⊂C
4. 具有n个元素的有限集具有2n个子集。

4.适当的子集：如果A是B的子集且A≠B, 则称A是B的适当子集。如果A是B的适当子集, 则B不是A的子集, 即B中至少一个元素不在A中。

例：

（i）设A = {2, 3, 4} B = {2, 3, 4, 5}

A是B的适当子集。

（ii）空∅是每个集合的适当子集。

5.不正确的子集：如果A是B的子集且A = B, 则A被认为是B的不正确子集。

例

（i）A = {2, 3, 4}, B = {2, 3, 4}

A是B的不正确子集。

（ii）每个集合都是其自身的不适当子集。

6.通用集：如果正在调查的所有集都是固定集U的子集, 则该集U称为通用集。

示例：在人口研究中, 通用集包括世界上所有的人。

7.空集或空集：没有元素的集称为空集或空集。用∅表示。

8. Singleton Set：仅包含一个元素。用{s}表示。

例如：S = {x |x∈N, 7 <x <9} = {8}

9.相等集合：如果两个集合A和B具有相同的元素, 则称它们相等, 并写为A =B。因此, 属于A的每个元素也是集合B的元素, 并且属于集合B的每个元素也是集合A的元素。

A = B ⟺ {x ϵ A  ⟺  x ϵ B}.

如果集合A中的某个元素不属于集合B, 反之亦然, 则A≠B, 即A不等于B.

10.等效集：如果两组的基数相等, 则称为等效集。

示例：如果A = {1, 2, 6}和B = {16, 17, 22}, 它们等效, 因为A的基数等于B的基数, 即| A | = | B | = 3

11.不交集：如果A中没有元素, 而B中没有元素, 则称两个A和B不交集。

例：

R = {a, b, c} S = {k, p, m}

R和S是不交集。

12.幂集：任何给定集合A的幂都是A的所有子集的集合, 用P（A）表示。如果A具有n个元素, 则P（A）具有2n个元素。

示例：A = {1, 2, 3} P（A）= {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, { 1、2、3}}。

集的分区

令S为非空集。 S的分区是将S细分为非重叠的非空子集。具体来说, S的分区是S的非空子集的集合{Ai}, 使得：

• S中的每个a都属于Ai之一。
• {Ai}的集合互不相交；那是,

Aj≠ Ak Then Aj ∩ Ak= ∅

分区中的子集称为单元。

图：点的矩形集S划分为五个像元A1, A2, A3, A4, A5的维恩图

朋友图

维恩图是集合的图形表示, 其中平面中的封闭区域表示集合。

例子：