集合的偏序关系

本文概述

• n-Ary关系
• 偏阶集（POSET）
• 总阶关系
• 等价类
• 循环关系
• 兼容关系

如果集合A上的关系R满足以下三个属性, 则称它为偏序关系：

1. 关系R是自反的, 即aRa∀a∈A。
2. 关系R是反对称的, 即aRb和bRa⟹a = b。
3. 关系R是传递的, 即aRb和bRc⟹aRc。

例1：如果在+ ve个整数的集合上定义的x≥y是局部偏序关系, 则说明关系（x, y）∈R。

解决方案：考虑包含四个+ ve整数的集合A = {1, 2, 3, 4}。找到该集合的关系, 例如R = {（2, 1）, （3, 1）, （3, 2）, （4, 1）, （4, 2）, （4, 3）, （1, 1）, （2、2）, （3、3）, （4、4）}。

自反的：该关系对于每个a∈A是自反的。（a, a）∈R, 即（1, 1）, （2, 2）, （3, 3）, （4, 4）∈R.

反对称：当（a, b）和（b, a）∈R时, 我们有a = b, 该关系是反对称的。

可及的：当（a, b）和（b, c）∈R时, 关系为（a, c）∈R.

示例：（4, 2）∈R和（2, 1）∈R, 暗示（4, 1）∈R.

由于这种关系是自反的, 反对称的和可传递的。因此, 这是一个偏序关系。

示例2：表明在N上定义的关系“分度”是偏序关系。

解：

反身：我们有一个除法a, ∀a∈N。因此, 关系“分隔”是自反的。

反对称：令a, b, c∈N, 使得a除以b。这意味着b将a除以a = b。因此, 该关系是反对称的。

传递式：令a, b, c∈N, 使得a除以b, b除以c。

然后除以c。因此, 该关系是可传递的。因此, 该关系是自反的, 反对称的和可传递的, 关系“除”是偏序关系。

示例3：（a）包含集合的关系⊆是部分排序或集合的任何集合, 因为集合包含具有三个所需的属性：

1. A⊆A代表任何A组。
2. 如果A⊆B和B⊆A, 则B =A。
3. 如果A⊆B和B⊆C, 则A⊆C

（b）关于实数的集合R的关系≤自反, 反对称和可传递。

（c）关系≤是偏序关系。

n-Ary关系

所谓n元关系, 是指一组有序的n元组。对于任何集合S, 乘积集Sn的子集被称为S上的n元关系。特别地, S3的子集被称为S上的三元关系。

偏阶集（POSET）

集合A与集合A上的偏序关系R一起由（A, R）表示, 称为偏阶集或POSET。

总阶关系

考虑集合A上的关系R。如果也称a, b∈A, 那么我们有（a, b）∈R或（b, a）∈R或a = b, 则关系R是集合A上已知的总阶关系。

示例：表明在N上定义的关系'<‘（小于）, + ve整数集既不是等价关系也不是部分有序关系, 而是总阶关系。

解：

自反的：令a∈N, 则a <a⟹'<‘不自反。

由于关系“ <”（小于）不是自反的, 因此既不是等效关系也不是偏序关系。

但是, 作为∀a, b∈N, 我们有a <b或b <a或a = b。因此, 该关系是总阶关系。

等价类

考虑在集合A上的等价关系R。元素a∈A的等价类是元素a与之相关的A元素的集合。用[a]表示。

示例：令R是在由R = {（4, 4）, （5, 5）, （6, 6）, （7, 7）定义的集合A = {4, 5, 6, 7}上的等价关系, （4, 6）, （6, 4）}。

确定其等效类。

解决方案：等价类如下：{4} = {6} = {4, 6} {5} = {5} {7} = {7}。

循环关系

考虑集合A上的二元关系R。如果（a, b）∈R并且（b, c）∈R表示（c, a）∈R, 则关系R称为圆形。

示例：考虑R为等价关系。证明R是自反的和圆形的。

解：自反：由于关系, R是等价关系。因此, 自反性是等价关系的属性。因此, R是自反的。

圆：让（a, b）∈R和（b, c）∈R⇒（a, c）∈R（∵R是可传递的）⇒（c, a）∈R（∵R是对称的）

因此, R为圆形。

兼容关系

自反对称的集合A上的二元关系R称为兼容关系。

每个等价关系都是兼容的, 但每个兼容关系不必是等价的。

示例：朋友的集合是兼容的, 但可能不是等价关系。

朋友朋友a→b, b→c, 但可能a和c不是朋友。