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集合和函数

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本文概述

它是一种映射, 其中集合A的每个元素在该元素处都与集合B唯一关联。A的集合称为函数的域, 而B的集合称为Co域。

集合和函数

函数的域, 共域和范围

函数的域:设f为从P到Q的函数。集合P称为函数f的域。

函数的共域:设f为从P到Q的函数。集合Q称为函数f的共域。

函数范围:函数范围是其域的图片集。换句话说, 我们可以说它是其共域的子集。它表示为f(域)。

If f: P → Q, then f (P) = {f(x): x ∈ P} = {y: y ∈ Q | ∃ x ∈ P, such that f (x) = y}.

示例:查找函数的域, 共域和范围。

Let x = {1, 2, 3, 4}
    y = {a, b, c, d, e}
    f = {(1, b), (2, a), (3, d), (4, c)
集合和函数

解:

Domain of function: {1, 2, 3, 4}
Range of function: {a, b, c, d}
Co-Domain of function: {a, b, c, d, e}

作为一组函数

如果P和Q是两个非空集, 则从P到Q的函数f是P x Q的子集, 有两个重要限制

  1. ∀a∈P, (b, Q)的(a, b)∈f
  2. 如果(a, b)∈f和(a, c)∈f, 则b = c。

注意1:Q中可能有些元素与集合P的任何元素都不相关。

2. P的每个元素必须与Q的至少一个元素相关。

示例1:如果集合A有n个元素, 那么从A到A有多少个函数?

解决方案:如果集合A具有n个元素, 则从A到A有nn个函数。

函数表示

两组P和Q由两个圆圈表示。函数f:P→Q由连接点的箭头表示, 这些点代表P的元素和Q的对应元素

范例1:

Let  X = {a, b, c} 	and Y = {x, y, z}   and f: X → Y such that
     f= {(a, x), (b, z), (c, x)}

则f可以用以下方式表示

集合和函数

例2:令X = {x, y, z, k}和Y = {1, 2, 3, 4}。确定以下哪个函数。如果不是, 请说明原因。查找范围是否为函数。

  1. f = {(x, 1), (y, 2), (z, 3), (k, 4)
  2. g = {(x, 1), (y, 1), (k, 4)
  3. h = {(x, 1), (x, 2), (x, 3), (x, 4)
  4. l = {(x, 1), (y, 1), (z, 1), (k, 1)}
  5. d = {(x, 1), (y, 2), (y, 3), (z, 4), (z, 4)}。

解:

  1. 这是一个函数。范围(f)= {1, 2, 3, 4}
  2. 这不是函数, 因为X的每个元素都不与Y的某个元素相关, 即Z不与Y的任何元素相关。
  3. h不是函数, 因为h(x)= {1, 2, 3, 4}, 即元素x在集合Y中有多个图像。
  4. d不是函数, 因为d(y)= {2, 3}, 即元素y具有多于集合Y中的图像。

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