集合等价关系

如果集合A上的关系R满足以下三个属性, 则称为等价关系：

1. 关系R是自反的, 即aRa∀a∈A。
2. 关系R是对称的, 即aRb⟹bRa
3. 关系R是传递的, 即aRb和bRc⟹aRc。

示例：设A = {1, 2, 3, 4}, R = {（1, 1）, （1, 3）, （2, 2）, （2, 4）, （3, 1）, （3 , 3）, （4、2）, （4、4）}。

证明R是一个等价关系。

解：

自反的：关系R自反为（1, 1）, （2, 2）, （3, 3）和（4, 4）∈R.

对称的：关系R是对称的, 因为无论何时（a, b）∈R, （b, a）也属于R.

例子：（2, 4）∈R⟹（4, 2）∈R.

可传递的：关系R是可传递的, 因为无论何时（a, b）和（b, c）属于R, （a, c）也属于R。

例如：（3, 1）∈R和（1, 3）∈R⟹（3, 3）∈R.

因此, 由于R是自反的, 对称的和可传递的, 因此R是等价关系。

注1：如果R1和R2是等价关系, 则R1∩R2也是等价关系。

例如：A = {1, 2, 3} R1 = {（1, 1）, （2, 2）, （3, 3）, （1, 2）, （2, 1）} R2 = {（1, 1）, （2、2）, （3、3）, （2、3）, （3、2）}R1∩R2 = {（1、1）, （2、2）, （3、3）}

注2：如果R1和R2是等价关系, 则R1∪R2可能是也可能不是等价关系。

例如：A = {1, 2, 3} R1 = {（1, 1）, （2, 2）, （3, 3）, （1, 2）, （2, 1）} R2 = {（1, 1）, （2、2）, （3、3）, （2、3）, （3、2）}R1∪R2 = {（1、1）, （2、2）, （3、3）, （1、2）, （2、1）, （2、3）, （3、2）}

因此, 自反或对称是等价关系, 但可传递可能是也可能不是等价关系。

逆关系

令R为从集合A到集合B的任何关系。R-1表示的R的逆是从B到A的关系, 它由那些有序对组成, 这些对在反向时属于R, 即：

R-1 = {(b, a): (a, b) ∈ R}

范例1：A = {1, 2, 3} B = {x, y, z}

解：R = {（（y, y）, （1, z）, （3, y）R-1 = {{（y, 1）, （z, 1）, （y, 3）}显然（R-1 ）-1 = R

注1：R-1的域和范围等于R的范围和域。

示例2：R = {（1, 1）, （2, 2）, （3, 3）, （1, 2）, （2, 3）, （3, 2）} R-1 = {（1, 1 ）, （2、2）, （3、3）, （2、1）, （3、2）, （2、3）}

注2：如果R是等价关系, 则R-1始终是等价关系。

示例：令A = {1, 2, 3} R = {（（1, 1）, （2, 2）, （3, 3）, （1, 2）, （2, 1）} R-1 = { （1、1）, （2、2）, （3、3）, （2、1）, （1、2）} R-1是等价关系。

注3：如果R是对称关系, 则R-1 = R, 反之亦然。

示例：设A = {1, 2, 3} R = {（1, 1）, （2, 2）, （1, 2）, （2, 1）, （2, 3）, （3, 2） } R-1 = {（1, 1）, （2, 2）, （2, 1）, （1, 2）, （3, 2）, （2, 3）}

注4：逆序法律（SOT）-1 = T-1或S-1（ROSOT）-1 = T-1或S-1或R-1。