普通子群

本文概述

• 群同态
• 同构
• 自同构
• 环
• 环类型
• 子环

令G为一组。如果对于所有h∈H和x∈G, x hx-1∈H, G的子群H被称为G的正常子群

如果x H x-1 = {x h x-1 | h∈H}, 则当且仅当xHx-1⊆H, ∀x∈G

陈述：如果G是一个阿贝尔群, 则G的每个子群H在G中都是正常的。

证明：设任何h∈H, x∈G, 那么x h x-1 = x（h x-1）x h x-1 =（x x-1）h x h x-1 = e h x h x-1 =h∈H

因此H是G的正常子群。

群同态

同态是映射f：G→G’, 使得f（xy）= f（x）f（y）, x, y∈G.尽管组G和G’是不同的。上述条件称为同态条件。

同态核：-从群G到身份为e’的群G’的同态f的核是集合{x∈G | f（x）= e’}

f的内核由Ker f表示。

如果f：G→G’是G到G’的同态, 则f的图像集是映射f的范围, 用f（G）表示。从而

Im（f）= f（G）= {f（x）∈G’| x∈G}

如果f（G）= G’, 则G’被称为G的同态图像。

注意：-组同态

同构

令（G1, *）和（G2, 0）为两个代数系统, 其中*和0均为二进制运算。如果存在同构映射f, 则称系统（G1, *）和（G2, 0）是同构的：G1→G2

当两个代数系统是同构的时, 这些系统在结构上是等效的, 可以通过简单地保留元素和运算来从另一个系统中获得一个系统。

示例：假设（A1, *）和（A2, ⊡）为两个代数系统, 如图2所示。确定两个代数系统是否同构。

解：两个代数系统（A1, *）和（A2, ⊡）是同构的, 而（A2, ⊡）是A1的同构图像, 使得

f（a）= 1 f（b）= w f（c）= w2

自同构

假设（G1, *）和（G2, 0）是两个代数系统, 其中*和0分别是对G1和G2的二进制运算。如果G1 = G2, 则从（G1, *）到（G2, 0）的同构称为自同构

环

如果R是满足以下条件的代数系统（R, +, ）, 则R是具有两个任意二进制运算+和。的集合。

1. （R, +）是一个阿贝尔群。
2. （R, ∙）是一个半群。
3. 对于所有a, b, c∈R, 乘法运算在加法运算+ i上是分布的, 即（b + c）= ab + ac和（b + c）a = ba + ca.

例1：假设M是在矩阵加法和矩阵乘法下整数上所有类型的所有矩阵的集合。因此, M形成环。

例2：在加法和乘法模9下的集合Z9 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}形成一个环。

环类型

1.交换环：如果环（R, +, ）在乘法运算（即a）下保持交换律, 则称为交换环。 b = b。 a, 每a, b∈R

例1：在加法和乘法运算下, 考虑所有偶数整数的集合E。集合E形成交换环。

2.统一环：如果环（R, +, ）具有乘法身份, 即称为“统一环”,

示例：考虑矩阵乘法和矩阵加法下整数上所有2 x 2矩阵的集合M。集合M形成一个整体的环。

3.零除环：如果ab = 0, 其中a和b是环（R, +）中R中的两个非零元素, 则a和b称为零和环（R, +）的除法被称为零除环。

4.无零除的环：代数系统（R, +）, 其中R是具有两个任意二进制运算+的集合, 如果每个a, b∈R, 我们有ab≠0⟹, 则称其为无零除数的环。 a≠0和b≠0

子环

环（R, +）的子集A如果满足以下条件, 则称为R的子环：

（A, +）是组（R, +）的子组

对于每个a, b∈A, A在乘法运算（即a.b∈A）下是闭合的。

示例：整数的环（I, +）是实数环（R, +）的子环。

注意：1.如果R是任何环, 则{0}和R是R的子环。2.两个子环的总和可能不是子环。 3.子环的交点是一个子环。