群论介绍

本文概述

• 群的属性
• 有限无限群
• 群的顺序

令G为具有二元运算*的非空集, 该运算将G的每个元素对（a, b）分配给由a * b表示的G元素。如果满足以下三个属性, 我们说G是二元运算下的一个群：

1）关联性：二进制运算*是关联的, 即a *（b * c）=（a * b）* c, ∀a, b, c∈G

2）身份：在G中有一个元素e, 称为身份, 因此a * e = e * a = a, ∀a∈G

3）逆：对于G中的每个元素a, G中都有一个元素b, 称为a的逆, 使得a * b = b * a = e, ∀a, b∈G

注意：如果一个群具有a * b = b * a的属性, 即交换律成立, 则该群称为abelian。

群的属性

以下定理可以理解群的基本特征：

定理1：-

1.陈述：-在一个群G中, 只有一个同一性元素（同一性唯一性）证明：-令e和e’是G中的两个恒等式, 令a∈G

=是= a i（i）’是’= a⟶（ii）

（i）和（ii）的R.H.S等于⇒ae= ae’

因此, 根据左抵消定律, 我们得到e = e’

对于任何a∈G, G中只有一个恒等元素。因此证明了该定理。

2.陈述：-对于群G中的每个元素a, G中都有一个唯一元素b, 使得ab = ba = e（如果为逆则唯一）

证明：-令b和c均为a∈G的逆

那么ab = e和ac = e∵c = ce {身份元素的存在}⟹c = c（ab）{∵ab = e} = c =（ca）b⟹c =（ac）b {∵ac = ca }⟹c = eb⟹c = b {∵b = eb}

因此, G的逆是唯一的。

定理2：-

1.陈述：-在一个群G中, （a-1）-1 = a, ∀a∈G

证明：我们有a-1 = a-1 a = e

其中e是G的标识元素

因此a是a-1∈G的逆

即（a-1）-1 = a, ∀a∈G

2.陈述：在群G中, （a b-1）= b-1 a-1, ∀a, b∈G

证明：-通过关联, 我们有

（b-1 a-1）ab = b 1 1（a a 1 a）b⟹（b 1 1 a 1 1）ab = b 1 1（e）b {∵a-1a = e}⟹（b -1 a-1）ab = b-1 b {∵eb= b}⟹（b-1 a-1）ab = e, {∵b-1b = e}

相似地

（ab）（b-1 a-1）= a（b b-1）a-1⟹（ab）（b-1 a-1）= a（e）a-1⟹（ab）（b-1 a-1）= a a-1 ab（ab）（b-1 a-1）= e {∵aa-1= e}因此（b-1 a-1）ab =（ab）（b-1 a -1）= e∴b-1 a-1是ab的倒数, 即b-1 a-1 = a b-1

因此定理被证明。

定理3：

在群G中, 左右抵消定律成立。

（i）ab = ac表示b = c

（ii）ba = ca表示b = c

证明

（i）令ab = ac在两边都乘以a-1得到a-1（ab）= a-1（ac）⟹（a-1a）b =（a-1 a）c⟹eb= ec⟹b = c

因此证明。

（ii）令ba = ca两边都乘以a-1 ba（ba）a-1 =（ca）a-1⟹b（aa-1）= c（aa-1）⟹be= ce⟹b = c

因此定理被证明。

有限无限群

如果G是有限集, 则一个群（G, *）称为有限群。

如果G是无限集, 则一个群（G, *）被称为无限群。

示例1：群（I, +）是一个无限群, 因为整数集I是一个无限集。

示例2：乘模8下的群G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}是有限群, 因为集合G是有限集。

群的顺序

群G的顺序是群G中元素的数量。用| G |表示。一群订单1仅具有标识元素, 即（{e} *）。

一群阶数2具有两个元素, 即一个标识元素和一个其他元素。

例1：令（{e, x}, *）为一群阶数2。操作表如图所示：

阶数为3的群具有三个元素, 即一个标识元素和两个其他元素。