规范形式

本文概述

• 析取范式或产品总和或（SOP）
• 求和或（POS）的合取范式或乘积
• 获取析取范式
• 获得合取范式
• 对偶原理

有两种形式的规范形式：

1. 析取范式或产品总和或（SOP）。
2. 求和或（POS）的合取范式或乘积。

析取范式或产品总和或（SOP）

如果布尔表达式（{0, 1}, ∨, ∧, ‘）是minterm的连接, 则表示为析取范式。

示例：（x1’∧x2’∧x3’）∨（x1’∧x2∧x3’）∨（x1∧x2∧x3）是析取范式的布尔表达式。

由于存在三个最小项x1’∧x2’∧x3′, x1’∧x2∧x3和x1∧x2∧x3。

最大项：n个变量x1, x2, …. xnis的布尔表达式, 如果形式为x1∨x2∨……….∨xn, 则表示为最大项

其中xi用于表示xi或xi’。

求和或（POS）的合取范式或乘积

（{0, 1}, ∨, ∧, ‘）上的布尔表达式如果满足max-terms, 则被认为是析取范式。

例：

（x1∨x2∨x3）∧（x1∨x2∨x3）∧（x1∨x2∨x3）∧（x1’∨x2∨x3’）∧（x1’∧x2’x3）

是一个合取范式的布尔表达式, 由五个max-term组成。

获取析取范式

考虑一个从{0, 1} n到{0, 1}的函数。通过使最小项对应于0和1的每个有序n元组（函数的值为1）, 可以以与该函数相对应的析取范式形式获得布尔表达式。

获得合取范式

考虑一个从{0, 1} n到{0, 1}的函数。通过使max-term对应于0和1的每个有序n元组（函数的值为0）, 可以以与该函数对应的联合范式获得布尔表达式。

示例：在

1. 析取范式
2. 合取范式

解：

1. （x1’∧x2’∧x3’）∨（x1’∧x2∧x3’）∨（x1∧x2’∧x3）∨（x1∧x2∧x3）
2. （x1’∨x2’∨x3’）∧（x1’∨x2∨x3）∧（x1∨x2’∨x3’）∧（x1∨x2∨x3’）

对偶原理

通过交换运算符+和*以及交换原始表达式E中的对应标识元素0和1, 可以获得任何表达式E的对偶。

示例：编写以下布尔表达式的对偶：

1.（x1 * x2）+（x1 * x3’）2.（1 + x2）*（x1 + 1）3.（a∧（b∧c））

解：

1.（x1 + x2）*（x1 + x3’）2.（0 * x2）+（x1 * 0）3.（a∨（b∧c））

注意：布尔代数中任何定理的对偶也是一个定理。