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布尔代数解析

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本文概述

互补的分布格称为布尔代数。它用(B, ∧, ∨, ‘, 0, 1)表示, 其中B是一个集合, 在其上定义了两个二进制运算∧(*)和∨(+)和一元运算(补码)。这里0和1是B的两个不同元素。

由于(B, ∧, ∨)是互补的分布格, 因此B的每个元素都有唯一的互补。

布尔代数的性质

1.交换性质:

(i)a + b = b + a(ii)a * b = b * a

2.分布特性

(i)a +(b * c)=(a + b)*(a + c)(ii)a *(b + c)=(a * b)+(a * c)

3.身份属性

(i)a + 0 = a(ii)a * 1 = a

4.补充法律:

(i)a + a’= 1(ii)a * a’= 0

子代数

考虑一个布尔代数(B, *, +, ‘, 0, 1)并让A⊆B。然后(A, *, +, ‘, 0, 1)称为的子代数或子布尔代数如果A本身是布尔代数, 则B, 即A包含元素0和1并在*, +和’操作下关闭。

示例:考虑布尔代数D70, 其Hasse图如图所示:

布尔代数

显然, A = {1, 7, 10, 70}和B = {1, 2, 35, 70}是D70的子代数。由于操作operation, ∨和’都关闭了A和B。

注意:布尔代数的子集可以是布尔代数, 但是它可能是子代数, 也可能不是子代数, 因为它可能不会关闭B上的运算。

同构布尔代数

如果存在一对一的对应关系f, 则两个布尔代数B和B1被称为同构:B⟶B1保留B中任何元素a, b的三个运算+, *和’, 即f(a + b)= f (a)+ f(b)f(a * b)= f(a)* f(b)且f(a’)= f(a)’。

示例:以下是两个不同的布尔代数, 其中两个元素是同构的。

1.第一个是布尔代数, 它由⊆(集合包含)下的幂集P(S)派生, 即, 令S = {a}, 然后让B = {P(S), ∪, ∩, ‘ }是具有两个元素P(S)= {∅, {a}}的布尔代数。

2.第二个是布尔代数{B, ∨, ∧, ‘}, 具有两个元素1和p(其中p是素数), 在运算除法后, 即B = {1, p}。因此, 我们有1∧p = 1和1∨p = p以及1’= p和p’= 1。

该表显示了布尔代数(B, *, +, ‘, 0, 1)的所有基本属性, 其中任何元素a, b, c都属于B.B的最大和最小元素分别由1和0表示。

1. a≤biff a + b = b 2. a≤biff a * b = a 3.幂等律4.交换性质(i)a + b = a(i)a + b = b + a(ii )a * a = a(ii)a * b = b * a 5.缔合特性6.吸收定律(i)a +(b + c)=(a + b)+ c(i)a +(a * b) = a(ii)a *(b * c)=(a * b)* c(ii)a *(a + b)= a 7.身分定律8.空定律(i)a + 0 = a(i )a * 0 = 0(ii)a * 1 = a(ii)a + 1 = 1 9.分配律10.补律(i)a *(b + c)=(a * b)+(a * c)(i)0’= 1(ii)a +(b * c)=(a + b)*(a + c)(ii)1’= 0(iii)a + a’= 1(iv)a * a’= 0 11.内卷律12.德摩根定律(a’)’= a(i)(a * b)’=(a’+ b’)(ii)(a + b)’=(a ‘* b’)

注意:1.对于每个a∈B, 0≤a≤1。2.每个元素b具有唯一补码b’。

布尔函数

考虑布尔代数(B, ∨, ∧, ‘, 0, 1)。如果n个变量的布尔表达式可以指定, 则从A”到A的函数称为布尔函数。

对于二值布尔代数, 从[0, 1] n到[0, 1]的任何函数都是布尔函数。

示例1:该表显示了从{0, 1} 3到{0, 1}的函数f

(x, y, z) f
(0, 0, 0) 0
(0, 0, 1) 0
(0, 1, 0) 1
(0, 1, 1) 0
(1, 0, 0) 1
(1, 0, 1) 1
(1, 1, 0) 0
(1, 1, 1) 1

示例2:下表显示了从{0, 1, 2, 3} 2到{0, 1, 2, 3}的函数f。

(x, y) f
(0, 0) 1
(0, 1) 0
(0, 2) 0
(0, 3) 3
(1, 0) 1
(1, 1) 1
(1, 2) 0
(1, 3) 3
(2, 0) 2
(2, 1) 0
(2, 2) 1
(2, 3) 1
(3, 0) 3
(3, 1) 0
(3, 2) 0
(3, 3) 2

注意:可以始终以表格形式描述功能。表达函数的另一种方法是通过表达式指定函数。


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