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集合关系的构成

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设A, B和C, 令R为从A到B的关系, 令S为从B到C的关系。即, R为A×B的子集, S为B×的子集。 C.然后R和S产生一个由R◦S表示并由下式定义的从A到C的关系:

a (R◦S)c if for some b ∈ B we have aRb and bSc. 
That is, R ◦ S = {(a, c)| there exists b ∈ B for which (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ S}

关系R◦S已知R和S的组成;它有时简单地用RS表示。

令R是集合A上的关系, 即R是从集合A到自身的关系。然后总是表示R◦R, 即R本身的组成。同样, R?R有时用R2表示。同样, R3 =R2◦R=R◦R◦R, 依此类推。因此, 为所有正n定义了Rn。

示例1:设X = {4, 5, 6}, Y = {a, b, c}和Z = {l, m, n}。考虑从X到Y的关系R1和从Y到Z的关系R2。

R1 = {(4, a), (4, b), (5, c), (6, a), (6, c)}
 R2 = {(a, l), (a, n), (b, l), (b, m), (c, l), (c, m), (c, n)}
集合关系的构成

找出关系(i)R1 o R2(ii)R1o R1-1的组成

解:

(i)组成关系R1到R2如图所示:

集合关系的构成

R1 o R2 = {(4, l), (4, n), (4, m), (5, l), (5, m), (5, n), (6, l), (6, m), (6, n)}

(ii)组成关系R1o R1-1如图所示:

集合关系的构成

R1o R1-1 = {(4, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (4, 6), (6, 6)}

关系和矩阵的组成

找到R◦S的另一种方法。令MR和MS分别表示关系R和S的矩阵表示。

Let P = {2, 3, 4, 5}. Consider the relation R and S on P defined by
    R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 3)}
    S = {(2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 5)}.

        Find the matrices of the above relations.
Use matrices to find the following composition of the relation R and S.
  (i)RoS       (ii)RoR       (iii)SoR

解决方案:关系R和S的矩阵如图所示:

集合关系的构成

(i)获得关系R和S的组成。首先将MR与MS相乘, 得到矩阵MR x MS, 如图所示:

矩阵MR x MS中的非零条目告诉RoS中相关的元素。所以,

集合关系的构成

因此, 关系R和S的成分R o S为

R o S = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.

(ii)首先, 将矩阵MR与其自身相乘, 如图2所示。

集合关系的构成

因此, 关系R和S的成分R o R为

R o R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)}

(iii)将矩阵MS与MR相乘得到矩阵MS x MR, 如图所示:

集合关系的构成

矩阵MS x MR中的非零项告诉S o R中相关的元素。

因此, 关系S和R的组成S o R为

S o R = {(2, 4) , (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.

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