数学二元关系

本文概述

• 关系域和范围
• 关系的补语

令P和Q为两个非空集。二进制关系R被定义为从集合P到Q的P x Q的子集。如果（a, b）∈R且R x P x Q, 则a通过R即aRb与b相关。如果集合P和Q相等, 那么我们说R⊆P x P是关于P的关系, 例如

(i) Let A = {a, b, c}
      B = {r, s, t}
Then R = {(a, r), (b, r), (b, t), (c, s)}
is a relation from A to B.

(ii) Let A = {1, 2, 3} and B = A
         R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
is a relation (equal) on A.

例1：如果一个集合有n个元素, 那么从A到A有多少个关系。

解决方案：如果集合A具有n个元素, 则A x A具有n2个元素。因此, 从A到A有2n2关系。

示例2：如果A有m个元素, 而B有n个元素。从A到B有多少关系, 反之亦然？

解决方案：有m x n个元素；因此从A到A有2m x n关系。

例3：如果集合A = {1, 2}。确定从A到A的所有关系。

解决方案：A x A中有22 = 4个元素, 即{（1, 2）, （2, 1）, （1, 1）, （2, 2）}。因此, 来自A的24 = 16关系到A.即

{(1, 2), (2, 1), (1, 1), (2, 2)}, {(1, 2), (2, 1)}, {(1, 2), (1, 1)}, {(1, 2), (2, 2)}, {(2, 1), (1, 1)}, {(2, 1), (2, 2)}, {(1, 1), (2, 2)}, {(1, 2), (2, 1), (1, 1)}, {(1, 2), (1, 1), (2, 2)}, {(2, 1), (1, 1), (2, 2)}, {(1, 2), (2, 1), (2, 2)}, {(1, 2), (2, 1), (1, 1), (2, 2)} and ∅.

关系域和范围

关系域：关系域R是P中与Q中某些元素相关的元素集合, 或者是R中有序对的所有第一项的集合。用DOM（R）表示。

关系范围：关系范围R是Q中与P中的某个元素相关的元素集合, 或者它是R中有序对的所有第二个条目的集合。用RAN（R）表示。

例：

Let A = {1, 2, 3, 4}
    B = {a, b, c, d}
    R = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, b), (2, c), (2, d)}.

解：

DOM (R) = {1, 2}
RAN (R) = {a, b, c, d}

关系的补语

考虑从集合A到集合B的关系R。用R表示的关系R的补码是从A到B的关系, 使得

R = {(a, b): {a, b) ∉ R}.

例：

Consider the relation R from X to Y
		X = {1, 2, 3}
		Y = {8, 9}
		R = {(1, 8) (2, 8) (1, 9) (3, 9)}
Find the complement relation of R.

解：

X x Y = {(1, 8), (2, 8), (3, 8), (1, 9), (2, 9), (3, 9)}
 Now we find the complement relation  R from X x Y
   R = {(3, 8), (2, 9)}