图论算法：Floyd-Warshall算法

令G的顶点为V = {1, 2 …… n}, 并考虑某个k的顶点的子集{1, 2 …… k}。对于任意一对顶点i, j∈V, 考虑从i到j的所有路径, 这些路径的中间顶点都从{1, 2 ….. k}绘制, 并令p为其中的最小权重路径。 Floyd-Warshall算法利用路径p和从i到j的最短路径之间的链接, 其中所有中间顶点都在{1, 2 ….. k-1}中。链接取决于k是否为路径p的中间顶点。

如果k不是路径p的中间顶点, 则路径p的所有中间顶点都在集合{1, 2​​ …… k-1}中。因此, 从顶点i到顶点j且集合{1, 2​​ …….. k-1}中有所有中间顶点的最短路径也是到顶点j且集合{1中有所有中间顶点的最短路径, 2 ……. k}。

如果k是路径p的中间顶点, 则我们将p分解为i→k→j。

令dij（k）为从顶点i到顶点j的最短路径的权重, 其中所有中间顶点在集合{1, 2​​ ….. k}中。

递归定义为

FLOYD - WARSHALL (W)
 1. n ← rows [W].
 2. D0 ← W
 3. for k ← 1 to n
 4. do for i ← 1 to n     
 5. do for j ← 1 to n     
 6. do dij(k) ← min (dij(k-1), dik(k-1)+dkj(k-1) )
 7. return D(n)

Floyd-Warshall算法采用的策略是动态规划。 Floyd-Warshall算法的运行时间由3-6行循环的三重嵌套确定。第6行的每次执行花费O（1）时间。该算法因此在时间θ（n3）中运行。

示例：应用Floyd-Warshall算法构造最短路径。证明由Floyd-Warshall算法为该图计算的矩阵D（k）和π（k）。

解：

步骤（i）当k = 0时

步骤（ii）当k = 1

步骤（iii）当k = 2

步骤（iv）当k = 3

步骤（v）当k = 4

步骤（vi）当k = 5

TRANSITIVE- CLOSURE (G)
 1. n ← |V[G]|
 2. for i ← 1 to n
 3. do for j ← 1 to n
 4. do if i = j or (i, j) ∈ E [G]
 5. the ← 1
 6. else ← 0
 7. for k ← 1 to n
 8. do for i ← 1 to n
 9. do for j ← 1 to n
 10. dod ij(k) ← 
 11. Return T(n).